18-marzo-2020
Aquí están los ejercicios que se colgaron en la página web del instituto:
Las soluciones a dichos ejercicios están aquí:
SOLUCIONES
25-marzo-2020
El último día de clase nos quedamos en el ejercicio 6, apartado a) del apartado 2 de nuestro libro, dentro del tema 7, límites y continuidad.
Iré dejando, (iremos viendo), textos y ejemplos de "textos marea verde" cuya página web es www.apuntesmareaverde.org.es, página que tenéis a vuestra disposición en la parte superior derecha del blog, ahí tenéis un enlace que pone "Apuntes marea verde". También disponéis en la misma parte superior derecha (como podéis ver) el blog matesfácil, podéis acceder, en el que también viene teoría y bastantes ejemplos.
Recordamos lo que hemos visto, hasta ahora:
1.O bien la x tiende a infinito, (+inf o -inf), y el resultado es, o un número real o bien el resultado es igual a +inf o a -inf.
2.O bien aquellos límites en los que la x tiende a un valor, (número), real y el resultado es igual a +inf o a -inf.
¡AHORA TÚ!
Resuelve los siguientes ejercicios:
SOLUCIONES:
Para afianzar lo que ya sabemos sobre límites infinitos, recordamos lo que acabamos de ver a través de las siguientes figuras:
Aprovechando que hemos estudiado ya los límites infinitos continuamos con el estudio de las ASÍNTOTAS de una función.
Comenzamos con las asíntotas verticales:
Fíjate atentamente en las siguientes figuras:
En el caso a), a medida que nos aproximamos a x = c, tanto por la izquierda como por la derecha, la función f toma valores positivos muy grandes, cada vez más grandes, mayores que cualquier número positivo que podamos pensar, por grande que sea.
En el caso b) ocurre lo mismo pero la única diferencia es que ahora la función f toma valores negativos cada vez más pequeños cuando nos aproximamos a x = c, tanto por la izquierda como por la derecha.
Observa que cuando x se acerca mucho a c, la gráfica de la función se dispara a (+infinito) o a (-infinito) la y SE APROXIMA A LA RECTA x = c
Así, decimos que x = c es una asíntota vertical de f(x)
Fíjate ahora en las siguientes figuras:
En los casos c) y d) vemos que podemos razonar de la misma manera que antes, con la salvedad que ahora, por ejemplo en el caso c), al acercarnos mucho a x = c por la izquierda, la función f toma valores negativos cada vez más pequeños, contrariamente a si nos acercamos mucho a x = c por la derecha; en este caso la función f va tomando valores positivos muy grandes y cada vez más grandes.
De nuevo, en estos casos c) y d) se observa otra vez que cuando x se acerca mucho a c, la gráfica de la función se dispara a (+infinito) o a (-infinito), (dependiendo el lado por donde nos acerquemos a x = c), y por tanto la y SE APROXIMA A LA RECTA x = c
OBSERVA QUE LOS PUNTOS c, (x = c), para los que, al tender f a ellos ocurre que la y tiende a (+infinito) o a (-infinito) son aquellos PARA LOS QUE f(x) NO ESTÁ DEFINIDA, estos puntos c no pertenecen al dominio de f(x).
Estudiemos ahora las asíntotas horizontales:
Observa el siguiente dibujo:
Sucede en los tres casos a) b) c).
Por tanto se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal de f(x).
¡AHORA TÚ!
Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=(x-1)/(x-2) y esboza su gráfica.
SOLUCIONES:
En realidad ya sabemos calcular algunos límites, pero ¿que ocurre cuando involucramos a +infinito o a -infinito? Pues a veces conoceremos el resultado, como hemos comprobado en ejercicios precedentes, hechos anteriormente, PERO EN OTRAS OCASIONES NO CONOCEMOS el resultado de forma inmediata y decimos que el resultado está INDETERMINADO, nos encontramos ante una INDETERMINACIÓN.
Ejemplos:
Llamando k a cualquier número real en las siguientes situaciones que se presentan:
1.O bien tenemos que calcular el límite de una expresión fraccionaria en el que el denominador es 0 y el numerador no lo es.
2.O bien llegamos a una expresión en la que, aunque aparece +infinito o -infinito, se puede determinar el valor del límite.
EN ESTOS CASOS SÍ CONOCEMOS EL RESULTADO, NO HAY INDETERMINACIÓN.
Lo vemos:
Y ahora presentamos los casos en los que NO CONOCEMOS EL RESULTADO INMEDIATAMENTE. ESTAMOS ANTE UNA INDETERMINACIÓN:
VEMOS LOS SIETE TIPOS DE INDETERMINACIONES:
Para resolver estas indeterminaciones tendremos que operar, manipular en las expresiones para ver si es posible llegar a encontrar el valor del límite, obtener su resultado.
Una vez que lo hagamos, el resultado tenderá a un número real o bien a +- infinito.
Vamos a ver como resolver cada caso de indeterminación:
A) INDETERMINACIÓN (INFINITO/INFINITO)
El caso más frecuente es cuando tenemos que calcular el límite de un cociente de polinomios con la x tendiendo a +- infinito; en este caso se aprecia que tanto el numerador como el denominador tienden a +infinito o bien a -infinito, Y POR TANTO HAY UNA INDETERMINACIÓN. (Observa la tabla anterior).
Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la potencia de grado mayor de la variable que aparece en el límite. Ejemplos:
En el segundo caso, de nuevo vemos que al tender x a +infinito, el numerador tiende a +infinito y el denominador tiende a -infinito: tenemos una indeterminación otra vez del tipo que comentamos. Observa que volvemos a hacer lo mismo, ahora se divide todo entre x al cubo, que es la potencia de mayor grado. Se simplifica lo que se puede y en este caso el resultado es un número real.
En el tercer caso, al tender x a + infinito, tanto el numerador como el denominador tienden a +infinito y tenemos de nuevo una indeterminación del tipo que estamos comentando. Se divide todo entre x al cuadrado, la potencia de mayor grado. Simplificamos todo lo que se pueda y finalmente nos queda 0.
Estos tres ejemplos ilustran LAS TRES SITUACIONES QUE SE PUEDEN DAR al resolver este tipo de indeterminación, con funciones racionales, (cociente de dos polinomios), aquí ahora se muestra la regla para resolver rápidamente este límite:
Lo vemos:
En el cociente de dos polinomios, P(x) o P es el polinomio del númerador y Q(x) o Q es el polinomio del denominador, como se muestra encima; calculamos el límite de P(x)/Q(x) cuando x tiende a +infinito o bien a -infinito.
Los tres casos que hay se corresponden con los tres límites ejemplo que hemos puesto antes, algo más arriba.
Observa que en el primer límite, el grado del polinomio P, ("3 x al cuadrado menos 1"), tiene grado 2 y el grado del polinomio Q, ("2 x más 5"), tiene grado 1. Por tanto como
grado(P) > grado(Q) el resultado del límite será o bien (+infinito) o bien (-infinito), dependiendo del signo del número que tengamos en el numerador, como hemos visto en el ejemplo visto algo más arriba.
En el segundo límite observa que los grados de los dos polinomios, P y Q, coinciden: grado(P)=grado(Q), así que en este caso el límite será el COCIENTE de los dos coeficientes de los dos monomios con mayor grado de los dos polinomios. Como en el polinomio P ese monomio es ("8 x cubo") y en el polinomio Q ese monomio es (-2 x cubo), los coeficientes son 8 y -2 respectivamente, POR LO QUE EL RESULTADO DEL LÍMITE SERÁ 8/-2, es decir -4.
En el tercer límite observa que el grado del polinomio P, (6 x), es 1 y el grado del polinomio Q, ("x al cuadrado menos 9"), es 2. Por tanto, como grado(P) < grado(Q), el resultado del límite directamente es 0.
B) INDETERMINACIÓN 0/0
Esta indeterminación aparece en expresiones que contienen cocientes de polinomios o radicales de polinomios, (funciones irracionales), Y SE OBSERVA QUE tanto el numerador como el denominador se ANULAN en el valor x = a en el que se calcula el límite.
¿Cómo se resuelven?
Si en el cociente sólo hay polinomios, entonces HAY QUE FACTORIZAR los polinomios, al hacerlo se observará que aparecerá tanto en el numerador como en el denominador el factor x - a, factor que SE ELIMINA tanto del numerador como del denominador, (ya que x toma valores muy próximos a "a" y entonces x - a no es estrictamente 0).
Si aparecer radicales, entonces debemos multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contiene la raiz y después se simplifica. EJEMPLOS:
C) INDETERMINACIÓN (infinito - infinito).
Esta es la última indeterminación que vemos. Aparece cuando hay expresiones fraccionarias o con radicales que se están sumando o restando. Ambos sumandos tienden a infinito con distinto signo.
Si hay sólo fracciones algebraicas, se opera con las fracciones y se calcula el nuevo límite obtenido.
Si aparecen radicales, hay que multiplicar y dividir por el conjugado, como vimos en el apartado anterior. EJEMPLOS:
¡AHORA TÚ! Resuelve los siguientes ejercicios de indeterminaciones:
SOLUCIONES:
UNA VEZ VISTAS LAS INDETERMINACIONES, comentar que cuando vimos las ASÍNTOTAS HORIZONTALES, las calculamos, (vimos un ejemplo, cálculo de las asíntotas de la función f(x) = (x-1)/(x-2)), basándonos en la gráfica de la función.
Vimos que todavía no podíamos calcular los límites que aparecían, (límite cuando la x tiende a +infinito o a -infinito de la función para la que tenemos que ver si tiene o no asíntotas horizontales), y TENÍAMOS QUE USAR NECESARIAMENTE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.
Por tanto, como YA PODEMOS HACER DICHOS LÍMITES, vamos A CALCULAR DE NUEVO LA ASÍNTOTA HORIZONTAL de la función f(x) = (x-1)/(x-2), SIN NECESIDAD DE PINTAR LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.
VEÁMOSLAS:
Una primera aproximación a la idea de continuidad en una función es pensar en que si podemos trazar la gráfica de la función sin levantar el boli o el lápiz del papel, es decir el trazo de la gráfica se hace de una sola vez, entonces la función es continua.
Si tenemos que levantar el boli o lápiz del papel en algún o algunos puntos, entonces la función no será continua en ese punto o en esos puntos. Vamos a ver con rigor cuando una función es continua en un punto:
Tenemos tres tipos de discontinuidades:
a) Discontinuidad evitable.
b) Discontinuidad de salto o salto finito.
c) Discontinuidad asintótica o de salto infinito.
El tipo de discontinuidad que muestre la función en un punto va a depender de la condición que no se cumpla, (hemos visto que la definición de continuidad da lugar a tres condiciones). Así, tenemos:
En la discontinuidad evitable existe el límite pero no coincide con la imagen del punto porque, o no existe la imagen del punto, o bien no coincide el límite con la imagen del punto.
En la discontinuidad de salto o discontinuidad de salto finito existen los límites laterales pero no son iguales, (así que no existe el límite).
En la discontinuidad asintótica o discontinuidad de salto infinito uno o los dos límites laterales es infinito, (+infinito o -infinito).
Hemos estudiado la continuidad de una función en un punto. Ahora AMPLIAMOS el concepto de continuidad a un intervalo de números reales:
En la segunda, como el intervalo es cerrado, sí que consideramos también los extremos a y b: para a, consideramos el límite por la derecha, (nos acercamos a "a" a través de puntos que pertenecen al intervalo, por la derecha). Para b, consideramos el límite por la izquierda, (nos estamos acercando a "b" a través de puntos que pertenecen al intervalo, por la izquierda).
Fin del tema.
COMIENZO DEL TEMA 8, DERIVADAS
Las derivadas se utilizan para estudiar y conocer mejor las características de las funciones, características que son muy útiles en la física y en las demás ciencias naturales y también en las ciencias sociales: en una empresa, la función que refleja los costes o los beneficios o la función relacionada con los precios de compra o de venta pueden ser analizadas mediante la derivada para conocer cuando crecen o decrecen dichas funciones.
Empezamos viendo qué es la tasa de variación media y sobre todo la tasa de variación instantánea:
VAMOS A VER EL CONCEPTO DE DERIVADA:
Intenta solucionar, en la página 183, los apartados a) y b) del ejercicio 7 y también los apartados a) y b) del ejercicio 8. De manera voluntaria puedes enviar tus resultados a mi correo. De todas formas se colgarán las soluciones pronto.
SOLUCIONES:
SOLUCIONES:
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
Vamos a aprender a derivar las funciones más corrientes que nos pueden surgir:
Vamos a aprender a derivar las funciones más corrientes que nos pueden surgir:
¡AHORA TÚ!
Haz los ejercicios 20, 21 y 22 de la página 187 del libro de texto.
SOLUCIONES:
DERIVADAS DE LAS OPERACIONES:
¡AHORA TÚ! De la página 189 del libro haz los siguientes ejercicios:
Ejercicio 26, los apartados a) b) c) y f).
Ejercicio 27, los apartados b) y c).
SOLUCIONES
FIN TEMA 8
Tema 9. Funciones elementales.
Dada una función, ya sabemos que la gráfica de una función f consiste en dibujar en un plano con los ejes de coordenadas todos los puntos de la forma (x, f(x)), siendo x cualquier valor del dominio de la función f. Se unen los puntos con una línea.
Es posible conocer muchas propiedades de la función que nos ayudan a determinar la forma de la gráfica: continuidad, asíntotas, crecimiento, extremos relativos, etc.
Veamos las propiedades globales de una función: puntos de corte con los ejes, signo de la función y simetría de la función:
1.Puntos de corte con los ejes:
Los puntos de corte de la función f con el eje X son aquellos puntos de la forma
(a, 0); así que para encontrarlos buscaremos los puntos de la gráfica que cumplen
f (x) = 0, es decir, igualamos la función a 0 y hallamos las soluciones de la ecuación obtenida.
Los puntos de corte de la función con el eje Y son aquellos puntos de la forma
(0, b); así que para encontrarlos sólo tendremos que considerar x = 0 y calcular
f (0).
EJEMPLO: Para la función 
, vamos a calcular los puntos de corte con el eje X primero:
, vamos a calcular los puntos de corte con el eje X primero:
Por tanto, la función tiene dos puntos de corte con el eje X:
Calculamos ahora los puntos de corte con el eje Y. Sólo hay que calcular f (0):
Por tanto, el punto de corte de f con el eje Y es 
2.Signo de la función.
Simplemente es conocer en qué zonas, (intervalos), la gráfica está por encima del eje X y por tanto se cumple f (x)>0, y en qué zonas, (intervalos), está por debajo del eje X y por tanto se cumple f (x)<0.
Primero tenemos que conocer los puntos de corte de la función con el eje X y así podemos encontrar las zonas, los intervalos donde estudiaremos el signo.
EJEMPLO. Sea 
Veamos los puntos de corte de f con el eje X:
Los puntos de corte con el eje X son:
Ahora se factorizaría la función, (POR TANTO NO TENÍAMOS POR QUÉ HABER CALCULADO LOS PUNTOS DE CORTE), observa que la función YA ESTÁ factorizada.
Lo hemos hecho como método general. La función factorizada es:
Ahora construimos una tabla en la que en las filas se ponen los factores de la factorización, junto con una fila reservada para la f, y en las columnas ponemos los intervalos que surgen al considerar los factores, desde menos infinito hasta más infinito, los tres intervalos que surgen son:
Ahora simplemente se rellena con un + o con un - cada hueco de la tabla. Por ejemplo, vamoa a hacerlo para la parte superior izquierda, para la fila de x - 6 y la columna del intervalo 
: Se elige cualquier número real que esté en el intervalo ,
: Se elige cualquier número real que esté en el intervalo ,
Elegimos por ejemplo el 1. Sustituimos el número elegido, 1, en la x de x - 6:
Operamos: 1 - 6 = -5 < 0.
Como hemos obtenido un valor menor que cero colocamos un signo - en el hueco de la tabla correspodiente, el que hemos comentado antes.
Así, al colocar ese signo - estamos diciendo que la función f ESTÁ POR DEBAJO DEL EJE X EN EL INTERVALO 
De la misma forma colocamos los signos + y - en el resto de huecos de la primera fila y en los huecos de la segunda fila, para los factores respectivos 
y 
.
y .
Una vez hecho esto, para rellenar la tercera fila, la fila de f (x), SÓLO TENEMOS QUE MULTIPLICAR LOS SIGNOS, (según la regla de los signos), PARA OBTENER LOS SIGNOS ADECUADOS EN LA TERCERA FILA.
OBSERVA QUE MULTIPLICAMOS porque la función f es
Consta su definición de una multiplicación de dos factores. Si fuese una función racional, un cociente de expresiones algebraicas, por ejemplo, pues al final habría que dividir, etc, etc.
Observamos que la función está por encima del eje X en
Y que la función está por debajo del eje X en
3.Simetrías.
Saber si nuestra fución presenta algún tipo de simetría ayuda mucho a la hora de representar la función.
Vamos a estudiar la simetría respecto al eje Y o eje de ordenadas y la simetría respecto al origen de coordenadas:
-FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE DE ORDENADAS Y, (TAMBIÉN LLAMADA FUNCIÓN PAR):
Toda función par es simétrica respecto al eje Y, por lo que si doblamos el papel donde está pintada la gráfica de la función por el eje Y, la gráfica de la función será la misma en ambos lados.
EJEMPLO:
ES UNA FUNCIÓN PAR:
FÍJATE QUE COINCIDEN f (x) y f(-x), f(x) = f(-x):
La gráfica de la función es:
es:
Se aprecia claramente que la gráfica presenta simetría respecto al eje Y.
-FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS, (TAMBIÉN LLAMADA FUNCIÓN IMPAR):
En este caso, simetría respecto al origen de coordenadas significa que si trazamos un segmento que parte de cualquier punto de la gráfica y pasa por el origen de coordenadas, entonces al prolongarlo hacia el otro lado terminaremos encontrando otro punto de la gráfica situado a la misma distancia del origen de coordenadas que el primer punto que hemos considerado.