Aquí están los ejercicios que se colgaron en la página web del instituto:
Pincha para acceder a ellos:EJERCICIOS
Las soluciones a dichos ejercicios están aquí:
SOLUCIONES
20-marzo-2020
En
clase nos habíamos quedado en el apartado 8 del tema 8 de nuestro libro:
"propiedades de la integral definida". Estábamos comentando las
propiedades. De todas ellas os muestro las propiedades que más nos interesan:
Son
propiedades muy intuitivas.
En la 1ª propiedad observamos que
la primitiva de la función (f+g) es la primitiva de la función f más la
primitiva de la función g.
En la 2ª propiedad se observa que
la primitiva de la función (k·f(x)), (con k un número real), es igual a k
multiplicado por la primitiva de la función f.
En la 3ª propiedad cualquier
integral definida podemos descomponerla en dos integrales definidas escribiendo
los límites adecuados: los límites de la integral son los números reales a y b, con a <= b, por lo que para cualquier real c tal que
a <= c <= b se cumple la propiedad enunciada.
Para la 4ª propiedad vemos que si f(x) es mayor o igual que cero entonces observa que está por encima del eje X y entonces la integral representa el área mayor o igual a cero.
En la 5ª propiedad si una función f está por encima de otra función g, (mayor o igual), entonces es lógico concluir que el área que forma la gráfica de f será mayor o igual que el área que forma la gráfica de g, de ahí la desigualdad con integrales mostrada.
Os muestro unos ejemplos gráficos:
(Fuente: "Matemática aplicadas a las ciencias sociales. 2 bachillerato. Editorial McGraw-Hill).
Aquí va un otro ejemplo sobre la primera propiedad, un vídeo que procedente de la página web de la Khan Academy: PINCHA AQUÍ
Antes
de continuar, recordar con un ejemplo gráfico muy ilustrativo la
relación que hay, ya considerada, entre la integral indefinida y la
integral definida:
AHORA TÚ:
Intenta hacer los ejercicios correspondientes del libro.
En el apartado 9 nos encontramos con: ÁREAS DE RECINTOS PLANOS.
Con la regla de Barrow calculamos áreas de recintos limitados por curvas. Observa que si la región está encima del eje X, tenemos un área positiva. Si la región está por debajo del eje X, la integral da un resultado negativo, por lo que como el área es un número mayor que cero, el área es siempre un valor positivo, se obtendrá como el valor absoluto del resultado de la integral:
(Obtenido de la página de José Luis Llopis Fabra, autor del blog matesfácil; Os dejo un enlace en la parte superior derecha del blog. Muy interesante).
También tenéis otros enlaces muy interesantes: textos y ejemplos de "textos marea verde", cuya página web es www.apuntesmareaverde.org.es, página
que tenéis a vuestra disposición en la parte superior derecha del blog,
ahí tenéis un enlace que pone "Apuntes marea verde". También pinchad en aplicaciones 2º bach ccss, donden encontraréis muchas aplicaciones de los contenidos de este curso, al igual que muchos vídeos explicativos pinchando en mates con Andrés.
Ejemplos:
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS EXPUESTOS MÁS ARRIBA; 31, 32 Y 33 DEL LIBRO DE TEXTO:
Ejemplo de cálculo de área entre una curva y el eje X:
Intenta hacer los ejercicios 35 y 36 del libro de texto:
SOLUCIONES:
¡AHORA TÚ!
SOLUCIONES:
Una vez que hemos visto con detalle cómo calcular el área entre una curva y el eje X, vamos a ver ahora cómo calcular el área entre dos curvas:
En
el dibujo se ven dos recintos, R1 y R2. Hay que calcular
el área de cada uno de ellos y después sumar para obtener el área
total.
Observa que primero tenemos saber cómo son los recintos para poder calcular las áreas de todos ellos.
Por tanto, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los puntos de corte de las dos curvas. Las curvas vemos que se cortan en x = a x = c y x = b
La manera de obtener los puntos de corte es resolviendo la ecuación f(x) = g(x).
Al hacerlo nos salen como soluciones x = a x = c y x = b
Estos puntos dividen el intervalo [a,b] en dos subintervalos: [a,c] y [c,b]
Procederemos entonces a calcular por separado el área de cada recinto:
Fijémonos en cómo calcular el área del primer recinto, R1:
Observa que el área del primer recinto, R1, se puede calcular como la DIFERENCIA entre las áreas señaladas en la figura anterior:
Área de R1:
Observa que, como en R1 la función f está por encima de la función g, hacemos f(x) - g(x) y no al revés. Y los límites de la integral son x = a y x = c
Análogamente, para calcular el área de R2, como ahora la función g está por encima de la función f, (ahora al revés), entonces integramos sobre g(x) - f(x), con los límites de la integral para el segundo recinto x = c y x = b:
Por tanto, el área total, el área que nos piden, es:
Hemos visto que las dos funciones son positivas, es decir, están por encima del eje X en el intervalo que define la región. ¿Qué ocurre si las funciones no son definidas positivas?
En este caso, como ves en el dibujo de la izquierda, en el intervalo considerado ahora, [a,b], las funciones f y g no siempre son definidas positivas.
Si consideramos dos nuevas funciones, (dibujo de la derecha), la función f* = f+M y la función g* = g+M, ahora estas dos nuevas funciones f* y g* SÍ SON DEFINIDAS POSITIVAS.
Si calculamos al área de la nueva región, (dibujo de la derecha), observa que SERÁ IDÉNTICA AL ÁREA QUE QUERÍAMOS QUE CALCULAR AL PRINCIPIO, lo único que ha ocurrido es que se ha trasladado el recinto M unidades verticalmente hacia arriba, pero el área sigue siendo la misma.
El área de la nueva región, (dibujo derecha), será:
EJEMPLO:
¡AHORA TÚ!
Haz los ejercicios del libro de texto números 37 y 38:
SOLUCIONES:
¡AHORA TÚ! Haz los siguientes ejercicios:
SOLUCIONES:
Y así finalizamos el tema.
Recuerdo que me los tenéis que entregar antes del domingo 10 de mayo.
Uno de los objetivos de la combinatoria es CONTAR y en desarrollar métodos para contar los elementos de un conjunto finito.
Es MUY IMPORTANTE para el estudio de la probabilidad, en la industria química y farmacéutica, en informática, etc.
Ejemplos: ¿De cuantas formas se pueden elegir a tres personas para realizar un trabajo de entre un total de 46 personas? ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 libros diferentes en una estantería?
Empezamos para introducirnos en el tema con el principio de la multiplicación y el factorial de un número:
VARIACIONES SIN REPETICIÓN.
AHORA TÚ: Haz los ejercicios 2, 3 y 4 de la página 235 del libro de texto. En poco tiempo se colgarán las soluciones.
SOLUCIONES:
Continuamos con el tema, estudiamos ahora las permutaciones:
AHORA TÚ: Intenta hacer los ejercicios siguientes:
Ejercicio 12 de la página 237 y los ejercicios 19 y 21 de la página 239.
SOLUCIONES:
SEGUIMOS CON EL TEMA 10. PROBABILIDAD.
Es muy frecuente el uso del concepto de probabilidad en la vida diaria. Gracias a la probabilidad podemos estudiar los sucesos aleatorios para, así, ser capaces de adoptar decisiones en la economía, la psicología, la sociología, los mercados financieros y por supuesto en las ciencias naturales.
Comenzamos con los experimentos aleatorios, los sucesos y las operaciones con sucesos.
Un experimento es un proceso a través del cual obtenemos una observación. Los experimentos se clasifican en deterministas y aleatorios.
Un experimento es determinista si su resultado es totalmente previsible. Por ejemplo podemos dejar caer un objeto desde una altura y preguntarnos por el tiempo que tardará en llegar al suelo. Como podemos calcular el tiempo que va a tardar dicho objeto antes de soltarlo, está claro que este es un experimento determinista.
Un experimento es aleatorio si se conocen con antelación TODOS los resultados del experimento y no podemos asegurar el resultado del experimento antes de realizarlo. Además podemos repetir el experimento en idénticas condiciones y al hacerlo los resultados pueden ser distintos.
Ejemplos de experimentos aleatorios:
1.Lanzamos una moneda y anotamos el resultado que aparece cuando descansa sobre la mesa.
2.En una baraja española se elige al azar una carta y se anota su palo.
3.Se lanza un dado cúbico y se anota su resultado.
Veamos ahora qué es el espacio muestral y los sucesos:
¡AHORA TÚ! Haz el ejercicio 1 del libro, en la página 251.
SOLUCIÓN:
Vamos a ver un ejemplo de operaciones con sucesos en el que aparecen diagramas de Venn:
Vamos a ver ya la definición de probabilidad de un suceso y las propiedades de la probabilidad:
SOLUCIÓN:
PROBABILIDAD CONDICIONADA.
Vamos a ver qué son los experimentos compuestos. Lanzar un dado, sacar una bola de una caja o extraer una carta de una baraja son experimentos aleatorios simples.
En cambio, lanzar varios dados, simultáneamente o uno después de otro; o bien sacar varias bolas de una caja, sea también simultáneamente o de una en una, son experimentos aleatorios compuestos. Lo vemos:
INDEPENDENCIA DE SUCESOS.
SOLUCIONES:
